PID控制原理与增量式PID算法

本小节纯粹在理论上讲解 PID 控制原理，先引出模拟 PID 控制公式，然后离散化处理，推导出位置式 PID 控制公式，再进一步推导出增量式 PID 控制公式。

将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称 PID 控制器。

模拟 PID 控制

在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是 PID 控制。为了说明控制器的工作原理，先看一个例子。下图所示是一个小功率直流电机的调速框图。

上图中，给定转速 $n_0(t)$ 与实际转速 $n(t)$ 进行比较，其差值 $e(t)=n_0(t)-n(t)$，经过 PID 控制器调整后输出电压控制信号 $u(t)$，$u(t)$ 经过功率放大后，驱动直流电动机改变其转速。

抽象化的模拟 PID 控制系统原理框图，如下图所示。该系统由模拟 PID 控制器和被控对象组成。

图中，$r(t)$ 是给定值，$y(t)$ 是系统的实际输出值，给定值与实际输出值构成控制偏差：

$e(t)=r(t)-y(t)$ （式 1-1）

$e(t)$ 作为 PID 控制的输入， 作为 PID 控制器的输出和被控对象的输入。 所以模拟 PID 控制器的 控制规律为

$u(t)=kp[e(t)+\frac{1}{Ti}\int e(t)dt+Td\frac{de(t)}{dt}]$ （式 1-2）

其中，$K_p$ 为控制器的比例系数，$T_i$ 为控制器的积分时间，也称积分系数，$T_d$为控制器的微分时间，也称微分系数。

数字 PID 控制

由于计算机的出现，计算机进入了控制领域。人们将模拟 PID 控制规律引入到计算机中来。对（式 1-2）的 PID 控制规律进行适当的变换，就可以用软件实现 PID 控制，即数字 PID 控制。

数字式 PID 控制算法可以分为位置式 PID 和增量式 PID 控制算法。

位置式 PID 算法

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量，进行连续控制。由于这一特点，（式 1-2）中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。离散化处理的方法为：以 T 作为采样周期，k 作为采样序号，则离散采样时间 kT对应着连续时间 t，用矩形法数值积分近似代替积分，用一阶后向差分近似代替微分，可作如下近似变换：

$t\approx kT (k = 0,1,2,...)$

$\int e(t)dt\approx T\sum_{j=0}^{k} e(jT) = T\sum_{j=0}^{k} e_j$

$\frac{de(t)}{dt} \approx \frac{e(kT)-e[(k-1)T]}{T} = \frac{e_k-e_{k-1}}{T}$

上式中，为了表达的方便，将类似于 $e(kT)$ 简化成 $e_k$ 等。

将（式 2-1）代入（式 1-2），就可以得到离散的 PID 表达式为

$u_k = Kp[e_k+\frac{(T)}{Ti}\sum_{j=0}^{k}e_j+Td\frac{(e_k-e_{k-1})}{T}]$ （式 2-2）

或

$u_k = Kp*e_k+Ki\sum_{j=0}^{k}e_j+Kd\frac{(e_k-e_{k-1})}{T}$ （式 2-3）

其中，

$k$ 为 采样序号，k = 0,1,2,...；

$u_k$ 为第 k 次采样时刻的计算机输出值；

$e_k$ 为第 k 次采样时刻输入的偏差值；

$e_{k-1}$ 为第 k-1 次采样时刻输入的偏差值；

$Ki$ 为积分系数，$Ki=kp*\frac{T}{Ti}$；

$Kd$ 为微分系数，$Kd=Kp*\frac{Td}{T}$。

如果采样周期足够小，则 （式 2-2）或（式 2-3）的近似计算可以获得足够精确的结果，离散控制过程与连续过程十分接近。

（式 2－2）或（式 2－3） 表示的控制算法式直接按（式 1 －2） 所给出的 PID 控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式 PID 控制算法。

这种算法的缺点是：由于全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对 $e_k$ 进行累加，工作量大。并且，因为计算机输出的对应的是执行机构的实际位置，如果计算机出现故障，输出的将大幅度变化，会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在实际生产际中是不允许的。

增量式 PID 算法

所谓增量式 PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量 $\bigtriangleup u_k$ 。 当执行机构需要的控制量是增量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法进行控制。

增量式 PID 控制算法可以通过（式 2－2）推导出。由（式 2－2）可以得到控制器的第 k－1 个采样时刻的输出值为：

$u_(k-1) = Kp[e_(k-1)+\frac{(T)}{Ti}\sum_{j=0}^{k-1}e_j+Td\frac{(e_(k-1)-e_(k-2))}{T}]$ （式 2-4）

用（式 2-2）减去（式 2-4）相减并整理，就可以得到增量式 PID 控制算法公式：

$\bigtriangleup u_k = u_k - u_{k-1} = Kp[e_k-e_{k-1}+\frac{(T)}{Ti}e_k+Td\frac{e_k-2e_{k-1}+e_{k-2}}{T}]$

$= Kp(1+\frac{T}{T_i}+\frac{Td}{T})e_k - Kp(1+\frac{2Td}{T})e_{k-1}+Kp\frac{Td}{T}e_{k-2}$ （式 2-5）

$=Ae_k+Be_{k-1}+Ce_{k-2}$

其中，

$A=Kp(1+\frac{T}{T_i}+\frac{Td}{T})$；

$B=Kp(1+\frac{2Td}{T})$；

$C=Kp\frac{Td}{T}$。

由（式 2－5）可以看出，如果计算机控制系统采用恒定的采样周期 T ，一旦确定 A、 B、 C，只要使用前后三次测量的偏差值，就可以由（式 2－5）求出控制量。

增量式 PID 控制算法与位置式 PID 算法（式 2－2）相比，计算量小的多，因此在实际中得到广泛的应用。

而位置式 PID 控制算法也可以通过增量式控制算法推出递推计算公式：

$u_k=u_{k-1}+\bigtriangleup u_k$ （式 2-6）

（式 2-6）就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推 PID 控制算法。

采样周期的选择

香农（Shannon） 采样定律 ：为不失真地复现信号的变化， 采样频率至少应大于或等于连续信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受到多方面因素的影响，不同的系统采样周期应根据具体情况来选择。

采样周期的选择，通常按照过程特性与干扰大小适当来选取采样周期：即对于响应快、（如流量、压力） 波动大、易受干扰的过程，应选取较短的采样周期；反之，当过程响应慢（如温度、 成份）、滞后大时，可选取较长的采样周期。

采样周期的选取应与 PID 参数的整定进行综合考虑， 采样周期应远小于过程的扰动信号的周期，在执行器的响应速度比较慢时，过小的采样周期将失去意义，因此可适当选大一点；在计算机运算速度允许的条件下，采样周期短， 则控制品质好；当过程的纯滞后时间较长时， 一般选取采样周期为纯滞后时间的 1/4～1/8。